অধ্যায় 2: বুলিয়ান বীজগণিত এবং এর সাথে সম্পর্কিত কম্পিউটার উপাদান

অধ্যায় 2: বুলিয়ান বীজগণিত এবং এর সাথে সম্পর্কিত কম্পিউটার উপাদান

2.1 বেসিক বুলিয়ান অপারেটর

ধরে নিন আমি (লেখক) লম্বা আর আপনি (পাঠক) লম্বা। কেউ যদি আপনাকে জিজ্ঞাসা করে যে আমরা দুজনেই লম্বা কিনা, আপনি বলবেন 'হ্যাঁ' (সত্য)। যদি তিনি জিজ্ঞাসা করেন যে আমরা উভয়ই ছোট কি না, আপনি বলবেন 'না' (মিথ্যা)। যদি আপনি খাটো হন এবং আমি লম্বা, এবং তিনি আপনাকে জিজ্ঞাসা করেন যে আপনি বা আমি লম্বা, আপনার উত্তর হবে 'হ্যাঁ' (সত্য)। যদি সে জিজ্ঞেস করে যে তুমি এবং আমি দুজনেই লম্বা, তোমার কাছে উত্তর থাকবে না। আপনি বলতে পারেন যে শেষ প্রশ্নটি জিজ্ঞাসা করা উচিত নয় বা প্রশ্নের উত্তর নেই। ঠিক আছে, আমি আপনাকে (পাঠক) জানতে চাই যে আজ, নির্দিষ্ট পরিস্থিতিতে, প্রশ্নটি করা উচিত।

জীববিজ্ঞানে, একজন ব্যক্তি হয় লম্বা বা খাটো। এটি 'পরিবেশগত' অবস্থা যা ব্যক্তিকে মাঝারি উচ্চতা ধারণ করে। একজন বিজ্ঞানী, জর্জ বুল, এই ধরণের প্রশ্নের উত্তর বা নিয়মের একটি সেট সংজ্ঞায়িত করেছেন। আমরা অনলাইন ক্যারিয়ার কোর্সের (অধ্যায়) এই বিভাগে এই নিয়মগুলি শিখব। এই নিয়মগুলি আজ কম্পিউটিং, প্রোগ্রামিং, ইলেকট্রনিক্স এবং টেলিযোগাযোগে ব্যবহৃত হয়। আসলে, এই নিয়মগুলি না থাকলে, আপনার কাছে একটি কম্পিউটার থাকত না, যেমনটি আজ সাধারণ; আপনার কাছে প্রোগ্রামিংও থাকবে না, যেমনটি আজ সাধারণ।

সত্য অথবা মিথ্যা
একটি সাধারণ মানুষের ভাষার বিবৃতি হয় সত্য বা মিথ্যা। আমি যদি বলি, 'আমি লম্বা', সেটা হয় সত্য বা মিথ্যা। আমি যদি বলি, 'তুমি লম্বা', সেটা হয় সত্য বা মিথ্যা। যদি আমি লম্বা হই এবং আপনি খাটো, এবং যদি প্রশ্ন করা হয় আপনি এবং আমি উভয়ই লম্বা হলে, বুলিয়ান লজিকে, সত্য বা মিথ্যার উত্তর দিতে হবে। এই দুটির মধ্যে কোনটি দিতে হবে? বুল সত্যিই এই প্রশ্নের উত্তর দেয়নি। তিনি কেবল আমাদের অনুসরণ করার জন্য কিছু নিয়ম নিয়ে এসেছিলেন। ভাল খবর হল যে, আপনি যখন এই নিয়মগুলিকে তাদের সঠিক প্রসঙ্গে অনুসরণ করেন, তখন আপনার কোন অস্পষ্টতা থাকে না। এই নিয়মগুলির জন্য ধন্যবাদ, আমাদের আজ কম্পিউটার এবং প্রোগ্রামিং রয়েছে। নিয়ম এখন আপনাকে দেওয়া হয়. নিয়ম আসলে ব্যাখ্যা করা যাবে না; আপনি শুধু তাদের গ্রহণ করুন। নিয়মগুলি তিনটি শিরোনামের অধীনে রয়েছে: AND, OR, এবং NOT৷

এবং
আপনি এবং আমি উভয়ই লম্বা হলে প্রশ্ন করা যেতে পারে। আমার উচ্চতা এবং আপনার উচ্চতা তারপর নিয়মের AND সেট দ্বারা মিলিত হয়। এইগুলি এবং নিয়মগুলি অনুসরণ করতে হবে:

মিথ্যা এবং মিথ্যা = মিথ্যা
মিথ্যা এবং সত্য = মিথ্যা
সত্য এবং মিথ্যা = মিথ্যা
সত্য এবং সত্য = সত্য

এখন, লম্বা হোক সত্য আর ছোট হোক মিথ্যা। এর মানে হল আমি ছোট হলে আর তুমি ছোট হলে তুমি আর আমি ছোট। যদি আমি খাটো এবং তুমি লম্বা, তুমি আর আমি খাটো; এটি বুলিয়ান উত্তর যা আপনাকে গ্রহণ করতে হবে। যদি আমি লম্বা হই এবং আপনি খাটো, আপনি এবং আমি উভয়ই খাটো। যদি আমি লম্বা হই এবং আপনি লম্বা হন, আপনি এবং আমি লম্বা। এগুলি সব এবং বুলিয়ান নিয়ম যা আপনাকে (পাঠককে) মেনে নিতে হবে।

বা
আপনি বা আমি লম্বা হলে প্রশ্ন করা যেতে পারে। আমার উচ্চতা এবং আপনার উচ্চতা তারপর নিয়মের OR সেট দ্বারা মিলিত হয়। এই OR নিয়মগুলি অনুসরণ করতে হবে:

মিথ্যা বা মিথ্যা = মিথ্যা
মিথ্যা বা সত্য = সত্য
সত্য বা মিথ্যা = সত্য
সত্য বা সত্য = সত্য

আবার, লম্বাকে সত্য এবং ছোটকে মিথ্যা হতে দিন। এর মানে হল আমি ছোট হলে বা তুমি ছোট, তুমি বা আমি ছোট। আমি খাটো হলে বা তুমি লম্বা হলে তুমি বা আমি লম্বা। আমি লম্বা হলে বা তুমি খাটো, তুমি বা আমি লম্বা। আমি লম্বা হলে বা তুমি লম্বা হলে তুমি বা আমি লম্বা। এই সমস্ত বুলিয়ান নিয়ম যা আপনাকে মেনে নিতে হবে।

না
এখন, বুলিয়ান যুক্তিতে, শুধুমাত্র দুটি অবস্থা (সম্ভাব্য উত্তর) বিদ্যমান। অর্থাৎ, আপনি লম্বা না হলে আপনি খাটো। আপনি যদি খাটো না হন তবে আপনি লম্বা; আর কিছু না. এইগুলি অনুসরণ করার নিয়ম নয়:

মিথ্যা নয় = সত্য
সত্য নয় = মিথ্যা

অনুমান করুন যে আপনার কাছে একটি স্ট্রিং (বা বসন্ত) আছে যা আপনি প্রসারিত করতে পারেন (টান)। যখন স্ট্রিংটি তার স্বাভাবিক অবস্থায় থাকে, আমি যদি বলি, 'সংক্ষিপ্ত নয়', আপনি এটিকে প্রসারিত করবেন; যে ব্যাখ্যা. স্ট্রিংটি প্রসারিত হওয়ার সময়, আমি যদি বলি, 'দীর্ঘ নয়', আপনি এটিকে সংকুচিত হতে দেবেন; যে ব্যাখ্যা.

আপনাকে তাদের বিভিন্ন বিভাগে প্রদত্ত সমস্ত নিয়ম মুখস্ত করতে হবে।

দুইটিরও বেশি অপারেন্ড
একটি কম্পিউটারের ভাষায়, AND, OR, এবং NOT প্রতিটিকে অপারেটর বলা হয়। নট অপারেটরের জন্য, উত্তর দেওয়ার জন্য আপনার শুধুমাত্র একটি অপারেন্ড (একটি অপারেটরের মান) প্রয়োজন। AND বা OR অপারেটরদের জন্য, আপনার দুটির বেশি অপারেন্ড থাকতে পারে। পূর্ববর্তী ক্ষেত্রে AND এবং OR-এর জন্য দুটি অপারেন্ড দেখায়। AND এর জন্য আপনার তিনটি অপারেন্ড থাকতে পারে:

মিথ্যা এবং মিথ্যা এবং মিথ্যা = মিথ্যা
মিথ্যা এবং মিথ্যা এবং সত্য = মিথ্যা

এই দুটি লাইন; প্রতিটির দুটি এবং অপারেটর রয়েছে। অপারেন্ড তিনটি হলে আসলে নয়টি লাইন থাকে। AND অপারেটরের সাথে, শুধুমাত্র শেষ লাইন (নবম লাইন) সত্যের সমান; সমস্ত পূর্ববর্তী লাইন মিথ্যা। মনে রাখবেন যে AND এর জন্য দুটি অপারেন্ডের সাথে, শুধুমাত্র শেষ লাইনটি সত্য; পূর্ববর্তী তিনটি লাইন সব মিথ্যা। যখন অপারেন্ড চারটি হয়, তখন 16টি লাইন থাকে এবং শুধুমাত্র শেষ লাইনটি AND অপারেটরের জন্য সত্য।

AND এর প্যাটার্ন এবং OR এর প্যাটার্ন আলাদা। দুটি OR অপারেটরের জন্য তিনটি অপারেন্ড সহ, নয়টি লাইনও রয়েছে এবং শুধুমাত্র প্রথম লাইনটি, এই সময়, মিথ্যা। দ্বিতীয় থেকে নবম লাইনটি সত্য। মনে রাখবেন যে OR-এর জন্য দুটি অপারেন্ডের সাথে, শুধুমাত্র প্রথম লাইনটি সত্য; বাকি তিনটি লাইন মিথ্যা। যখন OR-এর জন্য অপারেন্ড চারটি হয়, তখন 16টি লাইনও থাকে।

NOT অপারেটর শুধুমাত্র একটি অপারেন্ড নিয়ে কাজ করে। মিথ্যা নয় সত্য এবং সত্য নয় মিথ্যা।

2.2 দুটি অপারেন্ড ট্রুথ টেবিল এবং তাদের ইলেকট্রনিক উপাদান

গণিতে বীজগণিত নামে একটি বিষয় আছে। এর একটি ছোট অংশ আগের অধ্যায়ে দেখা গেছে। বুলিয়ান বীজগণিত নামে এক ধরনের বীজগণিত আছে। বুলিয়ান বীজগণিতে, সত্যকে বেস দুই ডিজিট দ্বারা চিহ্নিত করা হয় যা 1 এবং মিথ্যাকে বেস দুটি ডিজিট দ্বারা চিহ্নিত করা হয় যা 0।

অভ্যন্তরীণ কম্পিউটার ইউনিট উপাদান ইলেকট্রনিক উপাদান. কম্পিউটার সিস্টেমের সিস্টেম ইউনিটে ডিজিটাল ইলেকট্রনিক উপাদান রয়েছে। AND অপারেশনটি AND গেট নামে একটি ছোট ইলেকট্রনিক উপাদান দ্বারা করা হয়। OR অপারেশনটি OR গেট নামক ছোট ইলেকট্রনিক উপাদান দ্বারা করা হয়। NOT অপারেশনটি NOT গেট নামক ছোট ইলেকট্রনিক উপাদান দ্বারা করা হয়। এই গেটগুলির মধ্যে অনেকগুলি একটি ইন্টিগ্রেটেড সার্কিট (IC) চিপে থাকতে পারে।

এবং ট্রুথ টেবিল এবং এর গেট
নিম্নলিখিত টেবিলটি AND সত্য টেবিল এবং এর AND গেট (ছোট সার্কিট) চিহ্ন দেয়:

এবং সত্য টেবিল এবং এর গেট উভয়ের জন্য, A এবং B দুটি ইনপুট ভেরিয়েবল। Q হল আউটপুট ভেরিয়েবল। A হয় 1 বা 0। B হয় 1 বা 0। Q হয় 1 বা 0। 1 এবং 0 এর সাথে AND সত্য সারণীটি আগের সত্য/মিথ্যা এবং সত্য বিন্যাসের (টেবিল) মতোই। AND সমীকরণ হল:

ক. B = Q

যেখানে ডট (.) মানে AND (বুলিয়ান)। বিন্দু বাদ দেওয়া যেতে পারে AB = Q যার মানে একই জিনিস (AND)।

দ্রষ্টব্য: চারটি সারিতে A এবং B-এর বিটগুলি, জোড়া হিসাবে, 0 (বা 00), অর্থাৎ 00, 01, 10, 11 থেকে শুরু হওয়া বেস দুটির প্রথম চারটি সংখ্যা।

নিম্নলিখিত টেবিলটি OR সত্য টেবিল এবং এর OR গেট (ছোট সার্কিট) চিহ্ন দেয়:

OR সত্য টেবিল এবং এর গেট উভয়ের জন্য, A এবং B দুটি ইনপুট ভেরিয়েবল। Q হল আউটপুট ভেরিয়েবল। 1 এবং 0 এর সাথে OR সত্য সারণীটি আগের সত্য/মিথ্যা বা সত্য বিন্যাসের (টেবিল) মতোই।

OR সমীকরণ হল:

A + B = Q

যেখানে + এখানে বুলিয়ান OR মানে যোগ নয়। সমীকরণটি 'A বা B সমান Q' হিসাবে পড়া হয়।

নিচের টেবিলটি NOT Truth টেবিল এবং এর NOT গেট (ছোট সার্কিট) চিহ্ন দেয়:

নট ট্রুথ টেবিল বা নট গেটে শুধুমাত্র একটি ইনপুট এবং একটি আউটপুট রয়েছে। যখন ইনপুট 0 হয় তখন আউটপুট হয় 1। যখন ইনপুট 1 হয় তখন আউটপুট 0 হয়। NOT গেট এক ধরনের ইনভার্সন করে। আউটপুট ভেরিয়েবল ইনপুট ভেরিয়েবলের মতই, কিন্তু বার সহ (ওভার-লাইনড)। 1 এবং 0 এর সাথে সত্য নয় সারণীটি পূর্ববর্তী সত্য/মিথ্যা বা সত্য বিন্যাস (টেবিল) এর মতোই।

NOT সমীকরণ হল:

A = Q

যেখানে Q = A এবং এখানে A এর উপরে বার মানে পরিপূরক। 0-এর পরিপূরক হল 1 এবং 1-এর পরিপূরক হল 0৷ NOT গেটটিকে INVERTING গেটও বলা হয়৷

ডিজিটাল ইলেকট্রনিক্সে (বুলিয়ান বীজগণিত সহ) এগুলি হল মৌলিক (বা মূল) সত্য সারণী এবং তাদের গেট (ছোট সার্কিট)। অন্যান্য তিনটি সত্য সারণী যা নিম্নলিখিত চিত্রে দেওয়া হয়েছে এবং তাদের গেটগুলি সুবিধার জন্য এবং আগের তিনটি সত্য টেবিলের উপর ভিত্তি করে।

একটি সত্য টেবিল এবং গেট আছে যা AND সত্য টেবিল এবং গেট থেকে উদ্ভূত হয়। এগুলিকে NAND (NOT AND এর জন্য) সত্য টেবিল এবং সংশ্লিষ্ট NAND গেট বলা হয়। NAND সত্য টেবিল এবং এর নন্দ গেট হল:

NAND সত্য সারণী পেতে, AND সত্য টেবিলের আউটপুটে যান এবং প্রতিটি অঙ্ককে তার পরিপূরক দিয়ে প্রতিস্থাপন করুন। 0-এর পরিপূরক হল 1 এবং 1-এর পরিপূরক হল 0৷ NAND গেটটি AND গেটের মতো, তবে আউটপুট লাইনের আগে একটি ছোট বৃত্ত রয়েছে৷ NAND সমীকরণ হল:

যেখানে 'A' এবং 'B' এর ফলাফলের পরিপূরক বোঝায়। বারটি (ওভার-লাইন) ছোট বৃত্ত দ্বারা গেটে প্রতিনিধিত্ব করা হয়। মনে রাখবেন A এবং B এর মধ্যে বিন্দু বাদ দেওয়া যেতে পারে।

আরেকটি সত্য টেবিল এবং গেট আছে যা OR সত্য টেবিল এবং গেট থেকে উদ্ভূত হয়। তাদের বলা হয় NOR (for NOT OR) সত্য টেবিল এবং সংশ্লিষ্ট NOR গেট। NOR সত্য টেবিল এবং এর NOR গেট হল:

NOR সত্য সারণী পেতে, OR সত্য টেবিলের আউটপুটে যান এবং প্রতিটি সংখ্যাকে তার পরিপূরক দিয়ে প্রতিস্থাপন করুন। 0-এর পরিপূরক হল 1 এবং 1-এর পরিপূরক হল 0৷ NOR গেটটি OR গেটের মতো, তবে আউটপুট লাইনের আগে একটি ছোট বৃত্ত রয়েছে৷ NOR সমীকরণ হল:

কোথায় মানে “A” বা “B” এর ফলাফলের পরিপূরক। বারটি (ওভারলাইন) ছোট বৃত্ত দ্বারা গেটে প্রতিনিধিত্ব করা হয়।

এক্সক্লুসিভ OR (XOR)
OR গেটের জন্য সত্য সারণী হল:

সাধারণ ইংরেজিতে, 1 বা 1-এর শেষ সারিটি 1 বা 0 দেওয়া উচিত কিনা তা পরিষ্কার নয়। তাই, বুলিয়ান বীজগণিতে, দুই ধরনের OR সত্য টেবিল এবং দুটি সংশ্লিষ্ট গেট রয়েছে। স্বাভাবিক OR এর সাথে, 1 OR 1-এর শেষ সারিটি 1 দেয়। OR-এর অন্য প্রকার হল এক্সক্লুসিভ-OR (XOR) যেখানে প্রথম তিনটি সারি স্বাভাবিক OR (আউটপুট সহ) এর প্রথম তিনটি সারির মতোই। যাইহোক, চতুর্থ এবং শেষ সারির জন্য, 1 বা 1 0 দেয়।

নিম্নলিখিত টেবিলটি XOR সত্য টেবিল এবং এর XOR গেট (ছোট সার্কিট) প্রতীক দেয়:

XOR সত্য টেবিল এবং এর গেট উভয়ের জন্য, 'A' এবং 'B' দুটি ইনপুট ভেরিয়েবল। 'Q' হল আউটপুট ভেরিয়েবল।

XOR সমীকরণ হল:

A ⊕ B = Q

যেখানে ⊕ এখানে বুলিয়ান XOR মানে।

স্বাভাবিক OR মানে হয় বা উভয়। Exclusive OR এর অর্থ কঠোরভাবে হয় এবং উভয় নয়।

2.3 বুলিয়ান পোস্টুলেটস

পোস্টুলেটগুলি হল অনুমান যার উপর ভিত্তি করে নির্দিষ্ট সিদ্ধান্তগুলি আঁকা হয়। দশটি বুলিয়ান পোস্টুলেট রয়েছে যেগুলি AND, OR, এবং NOT সমীকরণ (সত্য টেবিল) থেকে রুট করা হয়েছে। এই সমীকরণগুলিকে ফাংশনও বলা হয়। মৌলিক ফাংশনগুলি নিম্নরূপ পুনরুদ্ধার করা হয়:

এগুলি হল বুলিয়ান বীজগণিতের মৌলিক ফাংশন (সমীকরণ)। নিম্নলিখিত অন্যান্য তিনটি (ফাংশন) সমীকরণ মৌলিক ফাংশন নয়:

যদিও এখানে শেষ ফাংশনটি অদ্ভুত, এটি একটি মৌলিক ফাংশন হিসাবে বিবেচিত হয় না।

বুলিয়ান পোস্টুলেটগুলি নিম্নরূপ:

AND ফাংশন থেকে
1) 0। 0 = 0
বিশ 1 = 0
3) 1. 0 = 0
4) 1। 1 = 1

OR ফাংশন থেকে
5) 0 + 0 = 0
6) 0 + 1 = 1
7) 1 + 0 = 1
8) 1 + 1 = 1

NOT ফাংশন থেকে
9) 0 = 1
10) 1 = 0

বিঃদ্রঃ: এই পোস্টুলেটগুলি শুধুমাত্র AND, OR, এবং NOT সত্য সারণীগুলির লাইন যা একটি স্বাধীনভাবে প্রকাশ করা হয়। পাঠক প্রদত্ত পোস্টুলেটগুলি মুখস্ত করতে হবে।

2.4 বুলিয়ান বৈশিষ্ট্য

একটি সম্পত্তি একটি কিছু একটি বৈশিষ্ট্য মত. বুলিয়ান বৈশিষ্ট্য হল সমীকরণ যা বুলিয়ান পোস্টুলেট থেকে উদ্ভূত হয়। এই বিভাগে, বৈশিষ্ট্যগুলি তাদের ডেরিভেশন ছাড়াই দেওয়া হয় এবং তারপরে ব্যবহার করা হয়। দশটি শিরোনামের অধীনে গোষ্ঠীভুক্ত বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে পঁচিশটি রয়েছে:

AND ফাংশনের বৈশিষ্ট্য

সম্পত্তি 1:

যেখানে X 1 বা 0 হতে পারে। এর মানে X যাই হোক না কেন, ফলাফল সর্বদা 0।

দ্রষ্টব্য: একটি চলক অবশ্যই A বা B বা C বা D হতে হবে না। একটি পরিবর্তনশীল W বা X বা Y বা Z বা অন্য কোনো অক্ষর হতে পারে।

সম্পত্তি 2:

যেখানে X 1 বা 0 হতে পারে। উল্লেখ্য যে প্রপার্টি 1 এবং প্রোপার্টি 2 এর মধ্যে পার্থক্য হল যে উভয় সমীকরণের সমান চিহ্নের বাম-পাশে, X এবং 0 এর অবস্থানগুলি বিনিময় করা হয়েছে।

সম্পত্তি 3:

যদি X 0 হয়, তাহলে 0. 1 = 0. X যদি 1 হয়, তাহলে 1. 1 = 1।

সম্পত্তি 4:

যদি X 0 হয়, তাহলে 1. 0 = 0. যদি X হয় 1, তাহলে 1. 1 = 1. উল্লেখ্য যে প্রপার্টি 3 এবং প্রোপার্টি 4 এর মধ্যে পার্থক্য হল উভয় সমীকরণের বাম দিকের অবস্থান X এবং 1 বিনিময় করা হয়।

OR ফাংশনের বৈশিষ্ট্য

সম্পত্তি 5:

যেখানে X 1 বা 0 হতে পারে। এর মানে হল X যদি 0 হয়, ফলাফল 0। যদি X 1 হয়, ফলাফল 1।

সম্পত্তি 6:

যেখানে X 1 বা 0 হতে পারে। উল্লেখ্য যে প্রপার্টি 5 এবং প্রোপার্টি 6 এর মধ্যে পার্থক্য হল যে উভয় সমীকরণের বাম-পাশে, X এবং 0 এর অবস্থানগুলি বিনিময় করা হয়েছে।

সম্পত্তি 7:

X যদি 0 হয়, তাহলে 0 + 1 = 1। X যদি 1 হয়, তাহলে 1 + 1 = 1।

সম্পত্তি 8:

যদি X 0 হয়, তাহলে 1 + 0 = 1। যদি X হয় 1, তাহলে 1 + 1 = 1। উল্লেখ্য যে সম্পত্তি 7 এবং সম্পত্তি 8 এর মধ্যে পার্থক্য হল উভয় সমীকরণের বাম-পাশে, এর অবস্থান X এবং 1 বিনিময় করা হয়।

নিজস্ব বা এর পরিপূরকের সাথে একটি পরিবর্তনশীলের সংমিশ্রণ সম্পর্কিত বৈশিষ্ট্য

সম্পত্তি 9:

অর্থাৎ: যদি X 0 হয়, তাহলে 0। 0 = 0. যদি X 1 হয়, তাহলে 1। 1 = 1।

সম্পত্তি 10:

অর্থাৎ: X যদি 0 হয়, তাহলে 0. 1 = 0. যদি X 1 হয়, তাহলে 1. 0 = 0।

ক্রমাগত ভেরিয়েবলের জন্য, এই সম্পত্তিটি হয়ে যায়:

সম্পত্তি 11:

অর্থাৎ: X যদি 0 হয়, তাহলে 0 + 0 = 0। I যদি X হয় 1, তাহলে 1 + 1 = 1 (সাধারণ OR থেকে)।

সম্পত্তি 12:

অর্থাৎ: X যদি 0 হয়, তাহলে 0 + 1 = 1। যদি X = 1 হয়, তাহলে 1 + 0 = 1।

অর্থাৎ: X যদি 0 হয়, তাহলে 0 + 1 = 1। যদি X = 1 হয়, তাহলে 1 + 0 = 1।

ডাবল কমপ্লিমেন্টেশন

সম্পত্তি 13:

যখন বাম-পাশের X 0 হয়, তখন ডানদিকের X হয় 0। যখন ডানদিকের X হয় 1, তখন বাম-পাশের X হয় 1। অন্য কথায়, ডবল কমপ্লিমেন্ট আসল মান ফিরিয়ে দেয়।

বিনিময় বিধি

সম্পত্তি 14:

এর মানে হল যে AND অপারেটরের জন্য, সমান চিহ্নের বাম দিকে প্রথম এবং দ্বিতীয় অপারেন্ডগুলি বিনিময় করা কোন ব্যাপার নয়; বাম দিকের আদান-প্রদানের পরেও উত্তরটি একই। এই সমীকরণটি বাদ দেওয়া বিন্দু দিয়ে লেখা যেতে পারে: XY = YX।

সম্পত্তি 15:

এখানে ব্যাখ্যাটি আগের AND এর মতোই, তবে এটি OR অপারেটরের জন্য।

বন্টনমূলক আইন

সম্পত্তি 16:

এখানে তিনটি ভেরিয়েবল আছে: X, Y, এবং Z। প্রতিটি ভেরিয়েবল 1 বা 0 হতে পারে। সমান চিহ্নের বাম-পাশে, বন্ধনীর অর্থ হল প্রথমে তাদের মধ্যে কী আছে তা মূল্যায়ন করা। তারপর, AND হল X-এর সাথে ফলাফল। ডান-হাত-পাশে বলে যে X এবং Y একসাথে, বা X এবং Z একসাথে, বাম-পাশের সমান। মনে রাখবেন যে ANDs-এর জন্য ডট অপারেটর সমস্ত মাধ্যমে বাদ দেওয়া হয়েছে; এবং যোগ করা ভেরিয়েবলের অর্থ এখনও AND।

সম্পত্তি 17:

এই প্রপার্টিটি হল প্রপার্টি 16 এর একটি এক্সটেনশন যার সাথে W এর যোগ করা পরিবর্তনশীল।

সহযোগী আইন

সম্পত্তি 18:

বন্ধনী মানে প্রথমে বন্ধনীতে কি আছে তা মূল্যায়ন করা। সুতরাং, বাম-পাশে অভিব্যক্তির জন্য, যদি Z-এর সাথে Y-কে প্রথমে AND করা হয়, এবং X-এর ফলাফলের সাথে AND করা হয়, তাহলে বাম-পাশের চূড়ান্ত ফলাফলটি ডানদিকের চূড়ান্ত ফলাফলের সমান। -হ্যান্ড-সাইড যেখানে Y-এর সাথে X-কে Z দিয়ে ফলাফল AND করার আগে প্রথমে ANDed করা হয়। মনে রাখবেন সমীকরণে বিন্দুগুলি বাদ দেওয়া হয়েছে।

সম্পত্তি 19:

এই সম্পত্তিটি সম্পত্তি 18 এর মতো একইভাবে ব্যাখ্যা করা হয়েছে, তবে AND অপারেটরের পরিবর্তে OR অপারেটর নিয়োগ করা হয়েছে। OR অপারেটর + সরলতার জন্য বুলিয়ান এক্সপ্রেশন থেকে কখনই বাদ দেওয়া হয় না। অন্যদিকে, AND অপারেটর বাদ দেওয়া যেতে পারে এবং দুটি ভেরিয়েবল যোগ করা যেতে পারে।

শোষণ

সম্পত্তি 20:

এই সমীকরণের সাথে, Y যাই হোক না কেন, ডানদিকের দিকটি সর্বদা X (শোষিত) হবে।

সম্পত্তি 21:

এছাড়াও, এই সমীকরণের সাথে, Y যাই হোক না কেন, ডানদিকের দিকটি সর্বদা X (শোষিত) হবে। এই সম্পত্তি 21 সম্পত্তি 20 এর সাথে একই যা হল:

এখানে, আমরা বণ্টনমূলক আইন এবং 9 সম্পত্তির X.X = X ব্যবহার করি।

একটি পরিচয়

সম্পত্তি 22:

এর মানে হল X + Y রাশির জন্য, Y এর সামনে X-এর পরিপূরক রাশিটির পরিবর্তন করে না।

সম্পত্তি 23:

এর মানে হল যে XY এক্সপ্রেশনের জন্য, বন্ধনীতে Y সহ X ORed এর পরিপূরক, যা প্রথমে করা হয়, XY রাশিটি পরিবর্তন করে না।

ডিমরগানের আইন

সম্পত্তি 24:

এর মানে হল যে একটি NOR (NOT OR) গেটের একই ফলাফল রয়েছে যেমন দুটি ইনপুটকে AND করার আগে NOT করে।

সম্পত্তি 25:

এর মানে হল যে একটি NAND (NOT AND) গেটের একই ফলাফল ORing এর আগে দুটি ইনপুট না করার মত।

প্রদত্ত চিত্রগুলি হল 25টি বৈশিষ্ট্য৷ ডানদিকের অভিব্যক্তি (বা ফলাফল) প্রাপ্ত হয়েছে কিনা তা দেখতে বাম-পাশে প্রতিটি অভিব্যক্তিতে 1 এবং 0 এর সমস্ত সম্ভাব্য মান প্রতিস্থাপন করে এগুলি প্রমাণ করা যেতে পারে। প্রমাণগুলো পাঠকের জন্য অনুশীলন হিসেবে রেখে দেওয়া হলো।

2.5 যৌগিক অভিব্যক্তির সরলীকরণ

নিম্নলিখিত দুটি ফাংশন একই:

Z হল আউটপুট এবং X, W, এবং Y হল ইনপুট। প্রথমটির জন্য একটি NAND গেট, একটি OR গেট, একটি AND গেট, দুটি NOT গেট, একটি OR গেট এবং একটি NOR গেট প্রয়োজন। দ্বিতীয়টির জন্য শুধু দুটি এবং গেট প্রয়োজন। প্রথমটি হল একটি যৌগিক অভিব্যক্তি সহ একটি সমীকরণ, ডান-পাশে, যা দ্বিতীয় সমীকরণের জন্য একক ডান-হাত-অভিব্যক্তি পদে সরলীকৃত (হ্রাস) করা হয়েছে।

সরলীকরণ বা হ্রাস একটি বর্তনী হিসাবে একই ফাংশন বাস্তবায়ন করার জন্য গেট সংখ্যা কম বাড়ে. এই ধরনের একটি ছোট সার্কিট একটি ইন্টিগ্রেটেড সার্কিট (IC) এর একটি অংশ হতে পারে বা কম্পিউটার মাদারবোর্ডের পৃষ্ঠে একটি স্বতন্ত্র সার্কিট হতে পারে।

যখন একটি ফাংশন (সমীকরণ) ডিজাইন প্রক্রিয়ায় আসে, তখন গেটের সংখ্যা কমাতে এবং একটি সস্তা সার্কিটের সাথে শেষ করতে সরলীকরণ করতে হয়। সরলীকরণের জন্য পূর্ববর্তী পঁচিশটি বুলিয়ান বৈশিষ্ট্যের এক বা একাধিক কর্মসংস্থান প্রয়োজন।

উদাহরণ 2.51:

সমীকরণ হ্রাস করুন:

বিঃদ্রঃ: একটির পাশে দুটি বন্ধনীর অর্থ হল বন্ধনীগুলি ANDed (এগুলির মধ্যে বিন্দুটি ঐচ্ছিকভাবে লেখা হয়নি)।

সমাধান:
সমাধানের জন্য, প্রতিটি ধাপের ন্যায্যতা (কারণ) ধাপের ডানদিকে বন্ধনীতে দেওয়া আছে। পাঠকের প্রতিটি পদক্ষেপ এবং এর ন্যায্যতা পড়া উচিত। পাঠককে পূর্ববর্তী বৈশিষ্ট্যগুলিও উল্লেখ করা উচিত কারণ সে ফাংশন হ্রাসের পদক্ষেপগুলি পড়ে।

উদাহরণ 2.52:

সহজতর করা:

2.6 পণ্যের ন্যূনতম যোগফল

নিম্নলিখিত দুটি ফাংশন একই:

উভয় সমীকরণের উভয় ডান হাতের অভিব্যক্তিকে পণ্যের যোগফল (SP) আকারে বলা হয়। একটি অভিব্যক্তিকে পণ্যের যোগফল হিসাবে বলা হয় যদি এতে বন্ধনী না থাকে। এটা স্পষ্ট যে প্রথম ফাংশন (সমীকরণ) দ্বিতীয় ফাংশনের চেয়ে বেশি গেট প্রয়োজন।

দ্বিতীয় ফাংশন প্রাপ্ত করার জন্য প্রথম ডান হাতের অভিব্যক্তি এখনও হ্রাস করা যেতে পারে। দ্বিতীয় ডানদিকের অভিব্যক্তিটিকে আর সরলীকরণ করা যায় না এবং এখনও পণ্যের যোগফল (পদগুলির 'সংযোজন') হিসাবে প্রকাশ করা যায়। দ্বিতীয় ডানদিকের অভিব্যক্তিটি সত্যিই আর সরলীকৃত করা যায় না। সুতরাং, এটি পণ্যের সর্বনিম্ন সমষ্টি (MSP) ফর্মে বলা হয়।

উদাহরণ 2.61:
নিম্নলিখিত ফাংশনটি প্রথমে পণ্যের যোগফল ফর্মে এবং তারপরে পণ্যের সর্বনিম্ন যোগফল ফর্মে আনুন।

সমাধান:
এই ধরনের সমস্যাগুলি সমাধান করার সময়, এই সমাধানে চিত্রিত হিসাবে পূর্ববর্তী পঁচিশটি বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে এক বা একাধিক ব্যবহার করতে হবে:

2.6 পণ্যের ন্যূনতম যোগফল

নিম্নলিখিত দুটি ফাংশন একই:

উভয় সমীকরণের উভয় ডান হাতের অভিব্যক্তিকে পণ্যের যোগফল (SP) আকারে বলা হয়। একটি অভিব্যক্তিকে পণ্যের যোগফল হিসাবে বলা হয় যদি এতে বন্ধনী না থাকে। এটা স্পষ্ট যে প্রথম ফাংশন (সমীকরণ) দ্বিতীয় ফাংশনের চেয়ে বেশি গেট প্রয়োজন।

দ্বিতীয় ফাংশন প্রাপ্ত করার জন্য প্রথম ডান হাতের অভিব্যক্তি এখনও হ্রাস করা যেতে পারে। দ্বিতীয় ডানদিকের অভিব্যক্তিটিকে আর সরলীকরণ করা যায় না এবং এখনও পণ্যের যোগফল (পদগুলির 'সংযোজন') হিসাবে প্রকাশ করা যায়। দ্বিতীয় ডানদিকের অভিব্যক্তিটি সত্যিই আর সরলীকৃত করা যায় না। সুতরাং, এটি পণ্যের সর্বনিম্ন সমষ্টি (MSP) ফর্মে বলা হয়।

উদাহরণ 2.61:
নিম্নলিখিত ফাংশনটি প্রথমে পণ্যের যোগফল ফর্মে এবং তারপরে পণ্যের সর্বনিম্ন যোগফল ফর্মে আনুন।

সমাধান:
এই ধরনের সমস্যাগুলি সমাধান করার সময়, এই সমাধানে চিত্রিত হিসাবে পূর্ববর্তী পঁচিশটি বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে এক বা একাধিক ব্যবহার করতে হবে:

এই শেষ অভিব্যক্তিটি Sum of Products ফর্মে (SP), কিন্তু পণ্যের ন্যূনতম যোগফল ফর্মে (MSP) নয়। প্রশ্নের প্রথম অংশের উত্তর দেওয়া হয়েছে। দ্বিতীয় অংশের জন্য সমাধান নিম্নরূপ:

এই শেষ সরলীকৃত ফাংশন (সমীকরণ) MSP ফর্মে রয়েছে এবং এর সংশ্লিষ্ট SP ফর্মের তুলনায় বাস্তবায়নের জন্য কম সংখ্যক গেট প্রয়োজন৷ মনে রাখবেন: SP মানে পণ্যের যোগফল যখন MSP মানে পণ্যের সর্বনিম্ন যোগফল।

উদাহরণ 2.62:
নিচের সার্কিটে X, Y, এবং W ইনপুট রয়েছে এবং Z হল আউটপুট। Z-এর জন্য পণ্যের যোগফল (SP) ফাংশন (আপাত ন্যূনতম পণ্য ফাংশনের যোগফল) তৈরি করুন। তারপর, পণ্যের প্রকৃত আরও হ্রাসকৃত (মিনিমাইজড) যোগফল (MSP) তৈরি করুন। তারপর, MSP সার্কিট বাস্তবায়ন করুন (MSP গেটিং নেটওয়ার্ক আঁকুন)।

চিত্র 2.61 একটি গেটিং সার্কিট

সমাধান:
সরলীকরণ প্রক্রিয়া শুরু হওয়ার আগে, X, Y, এবং W-এর পরিপ্রেক্ষিতে Z-এর অভিব্যক্তি অবশ্যই পেতে হবে। চিত্র থেকে এই উদাহরণটি দেখুন:

এটি X, Y, এবং W এর পরিপ্রেক্ষিতে Z-এর অভিব্যক্তি। এর পরে, আপাত MSP-তে সরলীকরণ ঘটতে পারে। আপাত MSP হল SP.

এই শেষ সমীকরণ (ফাংশন) SP আকারে আছে। এটা সত্য নয় সর্বনিম্ন পণ্যের যোগফল (এখনও MSP নয়)। সুতরাং, হ্রাস (নিম্নকরণ) চালিয়ে যেতে হবে।

এই শেষ সমীকরণ (ফাংশন) হল একটি সত্যিকারের সর্বনিম্ন পণ্যের যোগফল (MSP)। এবং পণ্যের ন্যূনতম যোগফল (সত্য মিনিমাইজ) গেটিং সার্কিট হল:

চিত্র 2.62 MSP গেটিং সার্কিট

মন্তব্য করুন
এই বিভাগে বিশ্লেষণ থেকে, এটি দেখা যায় যে পণ্যের যোগফল পণ্যের সর্বনিম্ন যোগফল কিনা তা পরিষ্কার নয়। এসপি খুব দরকারী নয়। এটি এমএসপি যা খুব দরকারী। MSP পাওয়ার একটি নিশ্চিত উপায় আছে; এটা Karnaugh মানচিত্র ব্যবহার করা হয়. Karnaugh Map এই অনলাইন ক্যারিয়ার কোর্সের সুযোগের বাইরে।

2.7 সমস্যা

পাঠককে পরবর্তী অধ্যায়ে যাওয়ার আগে একটি অধ্যায়ে সমস্ত সমস্যা সমাধান করার পরামর্শ দেওয়া হচ্ছে।

1. AND, OR, এবং NOT সত্য সারণীগুলি তাদের সংশ্লিষ্ট গেটগুলির সাথে তৈরি করুন৷
2. দশটি বুলিয়ান পোস্টুলেট তাদের বিভিন্ন বিভাগে লিখুন, বিভাগগুলির নামকরণ করুন।
3. ব্যাখ্যা ছাড়াই, বুলিয়ান বীজগণিতের ছাব্বিশটি বৈশিষ্ট্য তাদের বিভিন্ন বিভাগে লিখুন, বিভাগগুলির নামকরণ করুন।
4. বুলিয়ান বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে সমীকরণটি হ্রাস করুন এবং ব্যবহৃত বিভাগগুলি উদ্ধৃত করুন।



5. বুলিয়ান বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে সমীকরণটি হ্রাস করুন এবং ব্যবহৃত বিভাগগুলি উদ্ধৃত করুন।



6. বুলিয়ান বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে এবং ব্যবহৃত বিভাগগুলি উদ্ধৃত করে, নিম্নলিখিত সমীকরণটি হ্রাস করুন - প্রথমে পণ্যের যোগফল এবং তারপরে পণ্যের সর্বনিম্ন যোগফল করুন:



7. বুলিয়ান বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে এবং ব্যবহৃত বিভাগগুলি উদ্ধৃত করে, নিম্নলিখিত সমীকরণটি হ্রাস করুন - প্রথমে পণ্যের যোগফল এবং তারপরে পণ্যের সর্বনিম্ন যোগফল করুন: